LeviCivita , Permutations , InProduct , CrossProduct , ZeroVector , BaseVector , Identity , ZeroMatrix , DiagonalMatrix , IsMatrix , Normalize , Transpose , Determinant , Trace , Inverse , Minor , CoFactor , SolveMatrix , CharacteristicEquation , EigenValues , EigenVectors , IsHermitean , IsUnitary .

Lineare Algebra

In diesem Kapitel werden die Befehle für die Lineare Algebra erläutert. Die Möglichkeiten umfassen Operationen mit Vektoren (repräsentiert durch Listen) und Matrizen (repräsentiert durch Listen von Listen.

LeviCivita der vollständig antisymmetrische Levi-Civita-Tensor
Permutations Permutationen einer Liste
InProduct Skalarprodukt von Vektoren
CrossProduct Kreuzprodukt von Vektoren
ZeroVector Nullvektor
BaseVector Basisvektor
Identity Einheitsmatrix
ZeroMatrix Nullmatrix
DiagonalMatrix Diagonalmatrix
IsMatrix testet, ob das Argument eine Matrix ist
Normalize Einheitsvektor
Transpose transponierte Matrix
Determinant Determinante einer Matrix
Trace Spur einer Matrix
Inverse Inverses einer Matrix
Minor Streichungsdeterminante
CoFactor Unterdeterminante
SolveMatrix Lösung eines linearen Gleichungssystems
CharacteristicEquation charakteristisches Polynom einer Matrix
EigenValues Eigenwerte einer Matrix
EigenVectors Eigenvectors of a matrix
IsHermitean testet, ob das Argument eine hermitesche Matrix ist
IsUnitary testet, ob das Argument eine unitäre Matrix ist


LeviCivita -- Der vollständig antisymmetrische Levi-Civita-Tensor

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
LeviCivita(list)
Parameter:
list - eine geordnete Liste natürlicher Zahlen
Beschreibung:
"LeviCivita" implementiert das Levi Civita Symbol der Tensorrechnung. {list} ist eine geordnete Liste natürlicher Zahlen. Das Ergebnis der Funktion ist +1, wenn die Liste in aufsteigender Ordnung sortiert ist, sonst -1. Angewendet auf die Liste {1,2,3,...} ergibt sich z.B. +1, werden 2 Elemente der Liste vertauscht (z.B. {2,1,3}) ergibt sich -1.
Beispiele:
In> LeviCivita({1,2,3})
Out> 1;

In> LeviCivita({2,1,3})
Out> -1;

In> LeviCivita({2,2,3})
Out> 0;
Siehe auch:
Permutations .


Permutations -- Permutationen einer Liste

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
Permutations(list)
Parameter:
list - eine Liste
Beschreibung:
Das Ergebnis von Permutations ist eine Liste aller Permutationen der ursprünglichen Liste.
Beispiele:
In> Permutations({a,b,c})
Out> {{a,b,c},{a,c,b},{c,a,b},{b,a,c},{b,c,a},{c,b,a}};
Siehe auch:
LeviCivita .


InProduct -- Skalarprodukt von Vektoren

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
InProduct(a,b)
a . b
Parameter:
a, b - Vektoren gleicher Länge
Beschreibung:
Berechnet das Skalarprodukt der Vektoren "a" und "b". Die Vektoren müssen die gleiche Länge haben.
Beispiele:
In> {a,b,c} . {d,e,f};
Out> a*d+b*e+c*f;
Siehe auch:
CrossProduct .


CrossProduct -- Kreuzprodukt von Vektoren

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
CrossProduct(a,b)
a X b
Parameter:
a, b - dreidimensionale Vektoren
Beschreibung:
Berechnet das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) der Vektoren "a" und "b". Das Vektorprodukt ist nur für dreidimensionale Vektoren definiert.
Beispiele:
In> {a,b,c} X {d,e,f};
Out> {b*f-c*e,c*d-a*f,a*e-b*d};
Siehe auch:
InProduct .


ZeroVector -- Nullvektor

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
ZeroVector(n)
Parameter:
n - Größe des Nullvektors
Beschreibung:
Das Ergebnis ist ein Nullvektor mit "n" Komponenten.
Beispiele:
In> ZeroVector(4)
Out> {0,0,0,0};
Siehe auch:
BaseVector , ZeroMatrix , IsZeroVector .


BaseVector -- Basisvektor

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
BaseVector(k, n)
Parameter:
k - Index des zu berechnenden Basisvektors
n - Länge des Vektors
Beschreibung:
Das Ergebnis ist der "k"-te Basisvektor mit der Länge "n". Dies ist ein Vektor mit "n" Komponenten, die alle den Wert 0 haben außer der "k"-ten Komponente, die den Wert 1 hat.
Beispiele:
In> BaseVector(2,4)
Out> {0,1,0,0};
Siehe auch:
ZeroVector , Identity .


Identity -- Einheitsmatrix

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
Identity(n)
Parameter:
n - Größe der Matrix
Beschreibung:
Das Ergebnis ist die Einheitsmatrix mit "n" Zeilen und "n" Spalten. Die Hauptdiagonale der Matrix besteht aus Einsen, alle anderen Element sind Nullen.
Beispiele:
In> Identity(3)
Out> {{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}};
Siehe auch:
BaseVector , ZeroMatrix , DiagonalMatrix .


ZeroMatrix -- Nullmatrix

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
ZeroMatrix(n, m)
Parameter:
n - Anzahl der Zeilen
m - Anzahl der Spalten
Beschreibung:
Das Ergebnis ist eine Matrix mit "n" Zeilen und "m" Spalten deren Elemente alle Nullen sind.
Beispiele:
In> ZeroMatrix(3,4)
Out> {{0,0,0,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0}};
Siehe auch:
ZeroVector , Identity .


DiagonalMatrix -- Diagonalmatrix

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
DiagonalMatrix(d)
Parameter:
d - eine Liste von Werten
Beschreibung:
Das Ergebnis ist eine Diagonalmatrix deren Hauptdiagonale die in der Liste angegebenen Werte enthält. Alle übrigen Elemente sind Nullen.
Beispiele:
In> DiagonalMatrix(1 .. 4)
Out> {{1,0,0,0},{0,2,0,0},{0,0,3,0},{0,0,0,4}};
Siehe auch:
Identity , ZeroMatrix .


IsMatrix -- testet, ob das Argument eine Matrix ist

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
IsMatrix(M)
Parameter:
M - ein mathematisches Objekt
Beschreibung:
Das Ergebnis ist True, wenn M eine Matrix ist, sonst False. M wird als Matrix interpretiert, wenn es eine Liste von Listen ist.
Beispiele:
In> IsMatrix(ZeroMatrix(3,4))
Out> True;

In> IsMatrix(ZeroVector(4))
Out> False;

In> IsMatrix(3)
Out> False;
Siehe auch:
IsVector .


Normalize -- Einheitsvektor

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
Normalize(v)
Parameter:
v - ein Vektor
Beschreibung:
Das Ergebnis ist der Einheitsvektor von v, d.h. ein Vektor gleicher Richtung mit Betrag 1.
Beispiele:
In> Normalize({3,4})
Out> {3/5,4/5};

In> % . %
Out> 1;
Siehe auch:
InProduct , CrossProduct .


Transpose -- Transponierte Matrix

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
Transpose(M)
Parameter:
M - eine Matrix
Beschreibung:
Das Ergebnis ist die Transponierte der Matrix M, die dadurch entsteht, dass Zeilen als Spalten geschrieben werden. Ist M eine quadratische Matrix, dann entsteht die Transponierte durch Spiegelung aller Komponenten an der Hauptdiagonalen.
Beispiele:
In> Transpose({{a,b}})
Out> {{a},{b}};


Determinant -- Determinante einer Matrix

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
Determinant(M)
Parameter:
M - eine Matrix
Beschreibung:
Berechnet die Determinante der Matrix M.
Beispiele:
In> DiagonalMatrix(1 .. 4)
Out> {{1,0,0,0},{0,2,0,0},{0,0,3,0},{0,0,0,4}};

In> Determinant(%)
Out> 24;


Trace -- Spur einer Matrix

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
Trace(M)
Parameter:
M - eine Matrix
Beschreibung:
Das Ergebnis ist die Spur der Matrix M. Die Spur ist die Summe der Komponenten der Hauptdiagonalen.
Beispiele:
In> DiagonalMatrix(1 .. 4)
Out> {{1,0,0,0},{0,2,0,0},{0,0,3,0},{0,0,0,4}};

In> Trace(%)
Out> 10;


Inverse -- Inverse Matrix

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
Inverse(M)
Parameter:
M - eine Matrix
Beschreibung:
Das Ergebnis ist die zu M inverse Matrix. Die Determinante von M darf nicht Null sein.
Beispiele:
In> DiagonalMatrix({a,b,c})
Out> {{a,0,0},{0,b,0},{0,0,c}};

In> Inverse(%)
Out> {{(b*c)/(a*b*c),0,0},{0,(a*c)/(a*b*c),0},{0,0,(a*b)/(a*b*c)}};

In> Simplify(%)
Out> {{1/a,0,0},{0,1/b,0},{0,0,1/c}};


Minor -- Streichungsdeterminante

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
Minor(M,i,j)
Parameter:
M - eine Matrix
i, j - natürliche Zahlen
Beschreibung:
Das Ergebnis ist die Streichungsdeterminante um die Komponente (i,j). Das ist die Determinante der Matrix, die durch Streichen der "i"-ten Zeile und "j"-ten Spalte entsteht.
Beispiele:
In> A := {{1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9}};
Out> {{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}};

In> PrettyForm(A);

/                    \
| ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )  |
|                    |
| ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )  |
|                    |
| ( 7 ) ( 8 ) ( 9 )  |
\                    /

Out> True;

In> Minor(A,1,2);
Out> -6;

In> Determinant({{2,3}, {8,9}});
Out> -6;
Siehe auch:
CoFactor , Determinant , Inverse .


CoFactor -- Unterdeterminante

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
CoFactor(M,i,j)
Parameter:
M - eine Matrix
i, j - natürliche Zahlen
Beschreibung:
Das Ergebnis ist die nach dem Element (i,j) entwickelte Unterdeterminante, die durch Multiplikation der Streichungsdeterminante mit dem Faktor (-1)^(i+j) entsteht.
Beispiele:
In> A := {{1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9}};
Out> {{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}};

In> PrettyForm(A);

/                    \
| ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )  |
|                    |
| ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )  |
|                    |
| ( 7 ) ( 8 ) ( 9 )  |
\                    /

Out> True;

In> CoFactor(A,1,2);
Out> 6;

In> Minor(A,1,2);
Out> -6;

In> Minor(A,1,2) * (-1)^(1+2);
Out> 6;
Siehe auch:
Minor , Determinant , Inverse .


SolveMatrix -- Lösung eines linearen Gleichungssystems

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
SolveMatrix(M,v)
Parameter:
M - eine Matrix
v - ein Vektor
Beschreibung:
SolveMatrix berechnet den Lösungsvektor x der Gleichung
"M x = v". Die Determinante von M darf nicht Null sein.
Beispiele:
In> A := {{1,2}, {3,4}};
Out> {{1,2},{3,4}};

In> v := {5,6};
Out> {5,6};

In> x := SolveMatrix(A, v);
Out> {-4,9/2};

In> A * x;
Out> {5,6};
Siehe auch:
Inverse , Solve , PSolve .


CharacteristicEquation -- charakteristisches Polynom einer Matrix

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
CharacteristicEquation(matrix,var)
Parameter:
matrix - eine Matrix
var - eine Variable
Beschreibung:
Berechnet das charakteristische Polynom der Matrix "matrix". Die Nullstellen des charakteristische Polynoms sind die Eigenwerte der Matrix.
Beispiele:
In> DiagonalMatrix({a,b,c})
Out> {{a,0,0},{0,b,0},{0,0,c}};

In> CharacteristicEquation(%,x)
Out> (a-x)*(b-x)*(c-x);

In> Expand(%,x)
Out> (b+a+c)*x^2-x^3-((b+a)*c+a*b)*x+a*b*c;
Siehe auch:
EigenValues , EigenVectors .


EigenValues -- Eigenwerte einer Matrix

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
EigenValues(matrix)
Parameter:
matrix - eine quadratische Matrix
Beschreibung:
Berechnet die Eigenwerte einer quadratischen Matrix. Eine Zahl x heißt Eigenwert einer Matrix M, wenn es einen Vektor v gibt, so dass M*v=x*v gilt.
Beispiele:
In> M:={{1,2},{2,1}}
Out> {{1,2},{2,1}};

In> EigenValues(M)
Out> {3,-1};
Siehe auch:
EigenVectors , CharacteristicEquation .


EigenVectors -- Eigenvektoren einer Matrix

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
EigenVectors(matrix, eigenvalues) mathematische Standardbibliothek
Parameter:
matrix - eine quadratische Matrix
eigenvalues - eine Liste von Eigenwerten wie sie die Funktion EigenValues liefert
Beschreibung:
EigenVectors berechnet eine Liste von Eigenvektoren der Matrix.
Beispiele:
In> M:={{1,2},{2,1}}
Out> {{1,2},{2,1}};

In> e:=EigenValues(M)
Out> {3,-1};

In> EigenVectors(M,e)
Out> {{-ki2/ -1,ki2},{-ki2,ki2}};
Siehe auch:
EigenValues , CharacteristicEquation .


IsHermitean - testet, ob das Argument eine hermitesche Matrix ist

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
IsHermitean(A)
Parameter:
A - eine quadratische Matrix
Beschreibung:
Das Ergebnis ist True, wenn A eine hermitesche Matrix ist, sonst False. Eine Matrix A ist hermitesch, wenn Conjugate(Transpose(A))=A gilt.
Beispiele:
In> IsHermitean({{0,I},{-I,0}})
Out> True;

In> IsHermitean({{0,I},{2,0}})
Out> False;
Siehe auch:
IsUnitary .


IsUnitary -- testet, ob das Argument eine unitäre Matrix ist

mathematische Standardbibliothek
Funktionsaufruf:
IsUnitary(A)
Parameter:
A - eine quadratische Matrix
Beschreibung:
Das Ergebnis ist True, wenn A eine unitäre Matrix ist, sonst False. Eine Matrix A heißt unitär, wenn
A^(-1) = Transpose(Conjugate(A)) gilt.
Beispiele:
In> IsUnitary({{0,I},{-I,0}})
Out> True;

In> IsUnitary({{0,I},{2,0}})
Out> False;
Siehe auch:
IsHermitean .